Как решить спор о владении собакой, которую приютил 10 месяцев назад?

во-первых, у вас есть документы на собаку, а у нее таких документов нет.

во-вторых, согласно ст. 137 ГК на животных распространяются общие правила, применяемые для другого имущества. Смотрим ст. 236 гк Гражданин или юридическое лицо может отказаться от права собственности на принадлежащее ему имущество, объявив об этом либо совершив другие действия, определенно свидетельствующие о его устранении от владения, пользования и распоряжения имуществом без намерения сохранить какие-либо права на это имущество. Что и произошло.

В-третьих, нужно примерно знать сколько стоила собака, если меньше 10 000, то можно ссылаться на устную сделку

Статья 159 ГК. Устные сделки

1. Сделка, для которой законом или соглашением сторон не установлена письменная (простая или нотариальная) форма, может быть совершена устно.

2. Если иное не установлено соглашением сторон, могут совершаться устно все сделки, исполняемые при самом их совершении, за исключением сделок, для которых установлена нотариальная форма, и сделок, несоблюдение простой письменной формы которых влечет их недействительность.

""3. Сделки во исполнение договора, заключенного в письменной форме, могут по соглашению сторон совершаться устно, если это не противоречит закону, иным правовым актам и договору.

Для полиции показывайте документы, объясняйте, что она Вам сама передала собаку и существовала договоренность. будете писать объяснения давите на это. В настоящий момент можно предъявить Вашей знакомой встречное требование о взыскании расходов на содержание ее собаки.