Нужна ли регистрация на работу в Липецке, если прописан в Калининграде?

Да,нужна .Иначе Вас могут привлечь к административной ответственности, так как это два разных субъекта

Статья 19.15.2. Нарушение правил регистрации гражданина Российской Федерации по месту пребывания или по месту жительства в жилом помещении

[Кодекс РФ об административных правонарушениях] [Глава 19] [Статья 19.15.2]

1. Нарушение правил регистрации гражданина Российской Федерации по месту пребывания или по месту жительства в жилом помещении, если эти действия не содержат признаков уголовно наказуемого деяния, -

влечет наложение административного штрафа на граждан в размере от двух тысяч до трех тысяч рублей; на нанимателей, собственников жилого помещения (физических лиц) - от двух тысяч до пяти тысяч рублей; на должностных лиц - от двадцати пяти тысяч до пятидесяти тысяч рублей; на юридических лиц - от двухсот пятидесяти тысяч до семисот пятидесяти тысяч рублей.

2. Нарушение, предусмотренное частью 1 настоящей статьи, совершенное в городе федерального значения Москве или Санкт-Петербурге, -

влечет наложение административного штрафа на граждан в размере от трех тысяч до пяти тысяч рублей; на нанимателей, собственников жилого помещения (физических лиц) - от пяти тысяч до семи тысяч рублей; на должностных лиц - от тридцати тысяч до пятидесяти тысяч рублей; на юридических лиц - от трехсот тысяч до восьмисот тысяч рублей.

3. Нарушение без уважительных причин нанимателем или собственником, предоставившими жилое помещение гражданину Российской Федерации, установленных законодательством Российской Федерации сроков уведомления органа регистрационного учета о проживании данного гражданина в указанном жилом помещении без регистрации либо представление в орган регистрационного учета заведомо недостоверных сведений о регистрации гражданина Российской Федерации, если эти действия не содержат признаков уголовно наказуемого деяния, -

влечет наложение административного штрафа на граждан в размере от двух тысяч до трех тысяч рублей; на юридических лиц - от четырех тысяч до семи тысяч рублей.

4. Нарушение, предусмотренное частью 3 настоящей статьи, совершенное в городе федерального значения Москве или Санкт-Петербурге, -

влечет наложение административного штрафа на граждан в размере от трех тысяч до пяти тысяч рублей; на юридических лиц - от семи тысяч до десяти тысяч рублей.

5. Нарушение лицом, ответственным за прием и передачу в орган регистрационного учета документов для регистрации и снятия с регистрационного учета гражданина Российской Федерации по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации, установленных законодательством Российской Федерации сроков представления в орган регистрационного учета документов для регистрации граждан Российской Федерации либо представление в орган регистрационного учета заведомо недостоверных документов для регистрации гражданина Российской Федерации