Сегодня на Луганской таможне ДНР меня не выпустили с ребенком 3 х лет! Имели ли они право?

Это не в компетенции прокуратуры по законодательству Украины.

Для пересечения границы нужно св-во о рождении ребенка и согласие отца ребенка в нотариальной форме.

Обжаловать действия пограничников можно в судебном порядке, как вариант через суд получить разрешение на выезд.