Как скоро надо подавать исковое заявление в суд после авто экспертизы?

Не регламентируется. Если речь о КАСКО - может устанавливаться условиями договора. Если ОСАГО - по истечении указанного срока, но начало срока исчисляется не с даты проведения экспертизы, а с даты подачи заявления со всеми требующимися от заявителя документами. Сама же экспертиза проводится страховщиком, и включена в этот срок.

Федеральный закон от 25 апреля 2002 г. N 40-ФЗ

"Об обязательном страховании гражданской ответственности владельцев транспортных средств"

(с изменениями от 24 декабря 2002 г., 23 июня 2003 г., 29 декабря 2004 г., 21 июля 2005 г., 25 ноября, 30 декабря 2006 г., 1 декабря 2007 г., 16 мая, 24 июня, 23 июля, 25, 30 декабря 2008 г., 28 февраля, 27 декабря 2009 г., 1 февраля, 22 апреля 2010 г.)

"Статья 13. Страховая выплата

1. Потерпевший вправе предъявить непосредственно страховщику требование о возмещении вреда, причиненного его жизни, здоровью или имуществу, в пределах страховой суммы. Заявление потерпевшего, содержащее требование о страховой выплате, с приложенными к нему документами о наступлении страхового случая и размере подлежащего возмещению вреда направляется страховщику по месту нахождения страховщика или его представителя, уполномоченного страховщиком на рассмотрение указанных требований потерпевшего и осуществление страховых выплат.

Место нахождения и почтовый адрес страховщика, а также всех его представителей в субъектах Российской Федерации, средства связи с ними и сведения о времени их работы должны быть указаны в страховом полисе.

2. Страховщик рассматривает заявление потерпевшего о страховой выплате и предусмотренные правилами обязательного страхования приложенные к нему документы в течение 30 дней со дня их получения. В течение указанного срока страховщик обязан произвести страховую выплату потерпевшему или направить ему мотивированный отказ в такой выплате.

При неисполнении данной обязанности страховщик за каждый день просрочки уплачивает потерпевшему неустойку (пени) в размере одной семьдесят пятой ставки рефинансирования Центрального банка Российской Федерации, действующей на день, когда страховщик должен был исполнить эту обязанность, от установленной статьей 7 настоящего Федерального закона страховой суммы по виду возмещения вреда каждому потерпевшему.

Сумма неустойки (пени), подлежащей выплате потерпевшему, не может превышать размер страховой суммы по виду возмещения вреда каждому потерпевшему, установленной статьей 7 настоящего Федерального закона.

До полного определения размера подлежащего возмещению вреда страховщик по заявлению потерпевшего вправе произвести часть страховой выплаты, соответствующую фактически определенной части указанного вреда.

По согласованию с потерпевшим и на условиях, предусмотренных договором обязательного страхования, страховщик в счет страховой выплаты вправе организовать и оплатить ремонт поврежденного имущества".