Как уволить сотрудника за систематическое прогуливание работы и нарушение правил внутреннего распорядка без документального подтверждения?

Если документального подтверждения нет, то и уволить не сможете.

Попытайтесь уволить за прогулы, либо по сокращению, отказ в даче объяснительной оформите актом

Статья 81. Расторжение трудового договора по инициативе работодателя

[Трудовой кодекс РФ] [Глава 13] [Статья 81]

Трудовой договор может быть расторгнут работодателем в случаях:

1) ликвидации организации либо прекращения деятельности индивидуальным предпринимателем;

2) сокращения численности или штата работников организации, индивидуального предпринимателя;

3) несоответствия работника занимаемой должности или выполняемой работе вследствие недостаточной квалификации, подтвержденной результатами аттестации;

4) смены собственника имущества организации (в отношении руководителя организации, его заместителей и главного бухгалтера);

5) неоднократного неисполнения работником без уважительных причин трудовых обязанностей, если он имеет дисциплинарное взыскание;

6) однократного грубого нарушения работником трудовых обязанностей:

а) прогула, то есть отсутствия на рабочем месте без уважительных причин в течение всего рабочего дня (смены), независимо от его (ее) продолжительности, а также в случае отсутствия на рабочем месте без уважительных причин более четырех часов подряд в течение рабочего дня (смены);