В поликлинике отказываются выдавать больничный лист работающему дедушке, заботящемуся о больном ребенке

Нет, Вас неправильно информируют.

Сейчас законодательство позволяет получить больничный лист любому родственнику, осуществляющему уход за ребёнком, то есть кроме мамы это может быть и папа, и бабушка, и даже тётя, да хоть внучатая племянница. Для этого не обязательно совместное проживание с больным ребёнком и подтверждение степени родства. Без чего не обойтись при получении больничного листа, так это без паспорта, а всё остальное отражается в листке нетрудоспособности со слов взрослого. Ограничение заключается только в том, что этот взрослый должен быть работающим гражданином (по трудовому договору или ИП), перечисляющим взносы в фонд социального страхования. Поэтому бабушке, сидящей на пенсии, или тёте-студентке больничный никто оплачивать не будет, его просто-напросто не выдадут.