Возможность изменения заявления на принятие наследства - нужно ли добавить фразу по завещанию?

Вообще заявление о принятии наследства подается нотариусу непосредственно. Он удостоверяет подпись. Если Вы нашли завещание, то ничего не изменилось, если Вы свою волю на принятие наследства надлежащим образом выразили.

И нашел его завещание. Могу ли заявление изменить, добавив фразу и по завещанию?

Не обязательно. Поскольку завещание обязательно будет учтено при вступлении в наследство.

Александр, здравствуйте,

Если Вы в заявлении не указали в качестве основания призвания к наследованию завещание, то по завещанию наследство принять Вы не сможете. Поэтому, Вам следует оценить ситуацию и понимать, есть ли необходимость принимать наследство по завещанию, либо Вы и так все примете по закону. Здесь основной момент - наличие других наследников первой очереди, либо наследников имеющих право на обязательную долю.

Постановление Пленума Верховного Суда РФ от 29.05.2012 N 9 "О судебной практике по делам о наследовании"

35.

...

Наследник, подавший заявление о принятии наследства либо заявление о выдаче свидетельства о праве на наследство без указания основания призвания к наследованию, считается принявшим наследство, причитающееся ему по всем основаниям.

Принятие наследства, причитающегося наследнику только по одному из оснований, исключает возможность принятия наследства, причитающегося ему по другим основаниям, по истечении срока принятия наследства (статья 1154 ГК РФ), если наследник до истечения этого срока знал или должен был знать о наличии таких оснований.