Существует ли срок, по истечении которого сгорает долг по зарплате работодателя?

Долг не сгорает, но вы лишаетесь судебной защиты.

Читаем:

-

Трудовой кодекс Российской Федерации. Статья 392. Сроки обращения в суд за разрешением индивидуального трудового спора

Работник имеет право обратиться в суд за разрешением индивидуального трудового спора в течение трех месяцев со дня, когда он узнал или должен был узнать о нарушении своего права, а по спорам об увольнении - в течение одного месяца со дня вручения ему копии приказа об увольнении либо со дня выдачи трудовой книжки.

За разрешением индивидуального трудового спора о невыплате или неполной выплате заработной платы и других выплат, причитающихся работнику, он имеет право обратиться в суд в течение одного года со дня установленного срока выплаты указанных сумм, в том числе в случае невыплаты или неполной выплаты заработной платы и других выплат, причитающихся работнику при увольнении.

(часть вторая введена Федеральным законом от 03.07.2016 N 272-ФЗ)

Работодатель имеет право обратиться в суд по спорам о возмещении работником ущерба, причиненного работодателю, в течение одного года со дня обнаружения причиненного ущерба.

(в ред. Федерального закона от 30.06.2006 N 90-ФЗ)

При пропуске по уважительным причинам сроков, установленных частями первой, второй и третьей настоящей статьи, они могут быть восстановлены судом.

В случае, если трудовые отношения длятся (Вы продолжаете работать) срок давности не ограничивается 3 месяцами. Но для ускорения процесса советую обратиться в трудовую инспекцию.

Здравствуйте, вы можете пригрозить работодателю жалобой в прокуратуру и государственную инспекцию труда. Это может повлиять на ситуацию.

Законодательство предусматривает для работодателя ответственность за задержку выплаты заработной платы, вплоть до уголовной. Статья 145.1 УК РФ.