Кому предъявить иск о возмещении ущерба понесенного в результате экспертизы?

Это судебные расходы, пишите заявление тому же судье, который рассмотрел дело о взыскании судебных расходов с административного ответчика;

КАС РФ, Статья 106. Издержки, связанные с рассмотрением административного дела

К издержкам, связанным с рассмотрением административного дела, относятся:

1) суммы, подлежащие выплате свидетелям, экспертам, специалистам и переводчикам;

КАС РФ, Статья 111. Распределение судебных расходов между сторонами

""1. Стороне, в пользу которой состоялось решение суда, суд присуждает с другой стороны все понесенные по делу судебные расходы, за исключением случаев, предусмотренных статьей 107 и частью 3 статьи 109 настоящего Кодекса. По делам о взыскании обязательных платежей и санкций судебные расходы распределяются между сторонами пропорционально удовлетворенным требованиям.

2. Правила, установленные частью 1 настоящей статьи, относятся также к распределению судебных расходов, понесенных сторонами в связи с ведением дела в апелляционной, кассационной и надзорной инстанциях.

3. В случаях, если суд вышестоящей инстанции, не передавая дело на новое рассмотрение, изменит состоявшееся решение суда нижестоящей инстанции или примет новое решение, он соответственно изменяет распределение судебных расходов с учетом правил, установленных настоящей статьей. Если в этих случаях суд вышестоящей инстанции не изменил решение суда в части распределения судебных расходов, этот вопрос должен решить суд первой инстанции по заявлению лица, заинтересованного в его разрешении.

С учетом того, что финансирование мероприятий, связанных с призывом на военную службу, в том числе, на медицинское освидетельствование, результаты которого были оспорены, производится за счет средств федерального бюджета, выделяемых Министерству обороны Российской Федерации, правильным является взыскании судебных расходов с лица, получающего средства федерального бюджета на организацию в области призыва на военную службу.