Возможные последствия неуплаты при притензии по капитальному ремонту - наличие договора или мошенничество?

Имеют. Это обязательство установлено законом.

ЖК РФ.

Статья 169. Взносы на капитальный ремонт общего имущества в многоквартирном доме

1. Собственники помещений в многоквартирном доме обязаны уплачивать ежемесячные взносы на капитальный ремонт общего имущества в многоквартирном доме, за исключением случаев, предусмотренных частью 2 настоящей статьи, частью 8 статьи 170 и частью 4 статьи 181 настоящего Кодекса, в размере, установленном в соответствии с частью 8.1 статьи 156 настоящего Кодекса, или, если соответствующее решение принято общим собранием собственников помещений в многоквартирном доме, в большем размере.

Статья 155. Внесение платы за жилое помещение и коммунальные услуги

14.1. Собственники помещений в многоквартирном доме, несвоевременно и (или) не полностью уплатившие взносы на капитальный ремонт, обязаны уплатить в фонд капитального ремонта пени в размере одной трехсотой ставки рефинансирования Центрального банка Российской Федерации, действующей на день фактической оплаты, от не выплаченной в срок суммы за каждый день просрочки начиная с тридцать первого дня, следующего за днем наступления установленного срока оплаты, по день фактической оплаты. Уплата указанных пеней осуществляется в порядке, установленном для уплаты взносов на капитальный ремонт.