Как решить ситуацию с требованием работодателя написать заявление за ранее и как это влияет на получение пособия в ЦЗН

Просто ничего не пишите, так как вы не хотите увольняться.

Вместе с тем, если ваш Р-тель является ИП, то он не обязан выплачивать вам выходное пособие в связи с прекращением ИП.

Читаем:

Трудовой кодекс Российской Федерации. Статья 178. Выходные пособия

При расторжении трудового договора в связи с ликвидацией организации (пункт 1 части первой статьи 81 настоящего Кодекса) либо сокращением численности или штата работников организации (пункт 2 части первой статьи 81 настоящего Кодекса) увольняемому работнику выплачивается выходное пособие в размере среднего месячного заработка, а также за ним сохраняется средний месячный заработок на период трудоустройства, но не свыше двух месяцев со дня увольнения (с зачетом выходного пособия).

В законе не упомянуты ИП, поэтому и обязанности выплачивать пособие и Ср-заработок у них нет.