Возможно ли подать апелляцию по определению народного суда после истечения сроков исковой давности?

Подайте заявление на восстановление сроков, причиной укажите выше названные вами обстоятельства.

Статья 112 ГПК. Восстановление процессуальных сроков

(в ред. Федерального закона от 28.07.2004 N 94-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

1. Лицам, пропустившим установленный федеральным законом процессуальный срок по причинам, признанным судом уважительными, пропущенный срок может быть восстановлен.

2. Заявление о восстановлении пропущенного процессуального срока подается в суд, в котором надлежало совершить процессуальное действие, и рассматривается в судебном заседании. Лица, участвующие в деле, извещаются о времени и месте судебного заседания, однако их неявка не является препятствием к разрешению поставленного перед судом вопроса.

3. Одновременно с подачей заявления о восстановлении пропущенного процессуального срока должно быть совершено необходимое процессуальное действие (подана жалоба, представлены документы), в отношении которого пропущен срок.

4. Заявление о восстановлении пропущенного процессуального срока, установленного частью второй статьи 376, частью второй статьи 391.2 и частью второй статьи 391.11 настоящего Кодекса, подается в суд, рассмотревший дело по первой инстанции. Указанный срок может быть восстановлен только в исключительных случаях, когда суд признает уважительными причины его пропуска по обстоятельствам, объективно исключающим возможность подачи кассационной или надзорной жалобы в установленный срок (тяжелая болезнь лица, подающего жалобу, его беспомощное состояние и другое), и эти обстоятельства имели место в период не позднее одного года со дня вступления обжалуемого судебного постановления в законную силу.

(часть 4 в ред. Федерального закона от 09.12.2010 N 353-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

5. На определение суда о восстановлении или об отказе в восстановлении пропущенного процессуального срока может быть подана частная жалоба.

Нет такого понятия "народный суд". Есть федеральные и мировые суды.

Участие в третейском суде было сугубо добровольное, от него можно было отказаться.

Если же вы согласились на весь этот процесс, то суд вынес законное решение.

Апелляцию подать можете, но это только отсрочит выплату долга и никак не поможет.