Можно ли как-то его выписать, даже если мать ребенка будет против?

Невозможно ответить на вопрос, не зная жилищных условий матери внебрачного ребенка. Родительских прав лишить могут, но не родительских обязанностей. Семейный Кодекс, Статья 71. "Последствия лишения родительских прав"

1. Родители, лишенные родительских прав, теряют все права, основанные на факте родства с ребенком, в отношении которого они были лишены родительских прав, в том числе право на получение от него содержания (статья 87 настоящего Кодекса), а также право на льготы и государственные пособия, установленные для граждан, имеющих детей.

2. Лишение родительских прав не освобождает родителей от обязанности содержать своего ребенка.

3. Вопрос о дальнейшем совместном проживании ребенка и родителей (одного из них), лишенных родительских прав, решается судом в порядке, установленном жилищным законодательством.

4. Ребенок, в отношении которого родители (один из них) лишены родительских прав, сохраняет право собственности на жилое помещение или право пользования жилым помещением, а также сохраняет имущественные права, основанные на факте родства с родителями и другими родственниками, в том числе право на получение наследства.

Теперь по поводу выселения, как правило, механизм признания кого-либо утратившим право , не работает. Можно попробовать признать не приобретшим право пользования и проживания. процесс сложнее, но шансов больше. Если заинтересует, готов помочь.

Если ребенок никогда не вселялся в данную квартиру, можно подать иск о неприобретении им права пользования жилым помшением в свяхзи с несоблюденим ст.53, 54 ЖК РСФСР.