Можно ли подать заявление в суд, если на работе обсуждают мою личную жизнь и по этой причине приходится уволиться с работы?

Ну, тем более, вначале корректно с ней переговорите корректно. И, если есть основания, то скажите, что в суд вынуждены обратиться. В любом случае обсуждать чужие дела нехорошо. Если не поймет, то с руководством переговорите. Вряд ли им судебные дела понравятся. Знаете, возьму и обеих уволят в этом случае. Поэтому попросите переговорить с ней. Я думаю, все прекратится.

В этом случае вы не можете подать на сотрудницу в суд за клевету и иск вы никакой не сможете с нее взыскать. Пробуйте решить данный вопрос лично с сотрудницей-соседкой.

В этом случае конечно никакое заявление о клевете Вам не поможет, так как сведения не являются заведомом ложными. Переговорите с работодателем, возможно имеется возможность перевестись в другое подразделение. Никто конечно не возбудит никакого уголовного дела, но есть еще такая статья в УК РФ, как ст. 137 УК РФ:

Статья 137. Нарушение неприкосновенности частной жизни

1. Незаконное собирание или распространение сведений о частной жизни лица, составляющих его личную или семейную тайну, без его согласия либо распространение этих сведений в публичном выступлении, публично демонстрирующемся произведении или средствах массовой информации -

(в ред. Федерального закона от 08.12.2003 N 162-ФЗ)

Также попробуйте собрать доказательства и написать конкретно в отношении этой женщины заявление в прокуратуру. Я думаю, что вызовы в прокуратуру, принятие объяснений несколько охладят ее желание совать свой нос в чужие дела. Удачи!