Возможно ли стать штатным работником компании без подписания нового трудового договора после истечения срока предыдущего?

Срочный трудовой договор прекращается согласно п. 2 ч. 1 ст. 77 ТК РФ по истечении указанного в нем срока.

В соответствии с ч. 1 ст. 79 ТК РФ о прекращении трудового договора в связи с истечением срока его действия работник должен быть предупрежден в письменной форме не менее чем за три календарных дня до увольнения.

Работодатель предупредил Вас о предстоящем увольнении, но в последующем не принял для этого никаких мер. При расторжении трудового договора работодатель обязан выплатить заработную плату за отработанный период, включая премии, надбавки и иные выплаты, а также компенсацию за неиспользованный отпуск. Данные суммы выплачиваются в день прекращения трудового договора, которым признается последний день работы (ст. 84.1 ТК РФ).

Важно! Срочный трудовой договор расторгается в связи с истечением его срока, кроме случаев, когда трудовые отношения фактически продолжаются и ни одна из сторон не потребовала их прекращения. Если ни одна из сторон не предпримет никаких действий к прекращению трудового договора, то срочный трудовой договор автоматически будет считаться заключенным на неопределенный срок.

Следовательно, Ваш срочный договор считается заключенным на неопределенный срок, никаких новых трудовых договоров заключать не надо.