Может ли отец взять больничный, чтобы помочь маме с ребенком в домашних условиях?

Да может в декрет уйти.

ТК РФ, Статья 256. Отпуска по уходу за ребенком

Путеводители по кадровым вопросам и трудовым спорам. Вопросы применения ст. 256 ТК РФ

КонсультантПлюс: примечание.

В период нахождения в отпуске по уходу за ребенком до достижения им возраста трех лет лицу, подлежащему обязательному социальному страхованию и осуществляющему уход за ребенком, выплачиваются следующие виды пособий:

- со дня предоставления отпуска по уходу за ребенком до достижения ребенком возраста полутора лет - ежемесячное пособие по уходу за ребенком в размере 40 процентов среднего заработка. Данный вид пособия выплачивается по месту работы;

- ежемесячное пособие на ребенка, размер, порядок назначения, индексации и выплаты которого устанавливается законами и иными нормативными правовыми актами субъектов Российской Федерации (Федеральный закон от 19.05.1995 N 81-ФЗ).

О ежемесячных компенсационных выплатах лицам, находящимся в отпуске по уходу за ребенком до достижения им возраста трех лет, и другим категориям граждан см. Указ Президента РФ от 30.05.1994 N 1110, Постановление Правительства РФ от 03.11.1994 N 1206.

По заявлению женщины ей предоставляется отпуск по уходу за ребенком до достижения им возраста трех лет. Порядок и сроки выплаты пособия по государственному социальному страхованию в период указанного отпуска определяются федеральными законами.

(в ред. Федерального закона от 30.06.2006 N 90-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

Отпуска по уходу за ребенком могут быть использованы полностью или по частям также отцом ребенка, бабушкой, дедом, другим родственником или опекуном, фактически осуществляющим уход за ребенком.