Что произойдет с моим срочным трудовым договором, если я заболею перед его окончанием?

Нет, на период нетрудоспособности не продляется. Трудовой договор будет расторгнут в связи истечением срока. Ст.79 ТК РФ.

Срочный трудовой договор прекращается с истечением срока его действия. О прекращении трудового договора в связи с истечением срока его действия работник должен быть предупрежден в письменной форме не менее чем за три календарных дня до увольнения, за исключением случаев, когда истекает срок действия срочного трудового договора, заключенного на время исполнения обязанностей отсутствующего работника.

ТК РФ, Статья 77. Общие основания прекращения трудового договора Основаниями прекращения трудового договора являются: 2) истечение срока трудового договора (статья 79 настоящего Кодекса), за исключением случаев, когда трудовые отношения фактически продолжаются и ни одна из сторон не потребовала их прекращения;

Ничего не продлится. Срочный договор будет расторгнут в день окончания срока, если работодатель выполнит условие о письменном предупреждении работника о расторжении не менее чем за три календарных дня до увольнения. Больничный оплатят после его предъявления за все дни нетрудоспособности. Если не уведомит и/или не оформит увольнение, то договор станет бессрочным в силу Ст. 58 ТК РФ.