Какие права имеют отправитель и получатель при потере заказного письма от ФГУП Почта России?

Да конечно услуги почтовой связи как и любые другие услуги, подпадают под действие закона "О защите прав потребителей"

В данном случае как отправить письма, так и получатель письма, будут являться потребителями

ФГУП " Почта России" будет являться в данном случае исполнителем.

Претензии оператору почтовой связи можно предъявить в соответствии с Законом "О почтовой связи"

Статья 37. Порядок предъявления претензий

При неисполнении или ненадлежащем исполнении обязательств по оказанию услуг почтовой связи пользователь услуг почтовой связи вправе предъявить оператору почтовой связи претензию, в том числе с требованием о возмещении вреда.

Претензии в связи с недоставкой, несвоевременной доставкой, повреждением или утратой почтового отправления либо невыплатой переведенных денежных средств предъявляются в течение шести месяцев со дня подачи почтового отправления или почтового перевода денежных средств.

Претензии предъявляются в письменном виде и подлежат обязательной регистрации в установленном порядке.

Письменные ответы на претензии должны быть даны в следующие сроки:

на претензии по почтовым отправлениям и почтовым переводам денежных средств, пересылаемых (переводимых) в пределах одного населенного пункта, - в течение пяти дней;

на претензии по всем другим почтовым отправлениям и почтовым переводам денежных средств - в течение тридцати дней.

(в ред. Федерального закона от 02.03.2016 N 42-ФЗ)

Претензия к организации федеральной почтовой связи может предъявляться как по месту приема, так и по месту назначения почтового отправления.

Претензии по розыску международных почтовых отправлений принимаются и рассматриваются в порядке и сроки, предусмотренные законодательством Российской Федерации и международными договорами Российской Федерации.

В случае отказа оператора почтовой связи удовлетворить претензию, либо в случае его согласия удовлетворить претензию частично, либо в случае неполучения от оператора почтовой связи ответа в сроки, установленные для рассмотрения претензии, пользователь услуг почтовой связи имеет право предъявить иск в суд или арбитражный суд.

Да, в данном случае оба пользователя услугами Почты России являются потребителями, а правоотношения подпадают под действие Закона РФ от 7 февраля 1992 г. N 2300-I "О защите прав потребителей", согласно которому

потребитель - гражданин, имеющий намерение заказать или приобрести либо заказывающий, приобретающий или использующий товары (работы, услуги) исключительно для личных, семейных, домашних и иных нужд, не связанных с осуществлением предпринимательской деятельности