Вылет ребёнка за пределы РК можно без доверенности от одного из родителя к другому родителю?

Вам к юристам Казахстана. Но могу сказать про Россию. Там сможете найти аналогичные закон.

В соответствии со статьей 20 Федерального закона РФ от 15.08.1996 "О порядке выезда из РФ и порядке въезда в РФ" несовершеннолетний гражданин Российской Федерации, как правило, выезжает из Российской Федерации совместно хотя бы с одним из родителей, усыновителей, опекунов или попечителей. В случае, если несовершеннолетний гражданин Российской Федерации выезжает из Российской Федерации без сопровождения, он должен иметь при себе кроме паспорта нотариально оформленное согласие названных лиц на выезд несовершеннолетнего гражданина Российской Федерации с указанием срока выезда и государства (государств), которое (которые) он намерен посетить.

Иными словами согласие не нужно. Однако на практике довольно часты случаи, когда при прохождении таможенного контроля требуют согласие, ссылаясь на ст.20, согласно которой "в случае, если один из родителей, усыновителей, опекунов или попечителей заявит о своем несогласии на выезд из Российской Федерации несовершеннолетнего гражданина Российской Федерации, вопрос о возможности его выезда из Российской Федерации разрешается в судебном порядке". Должностные лица, осуществляющие контроль, исходят из того, что вдруг второй родитель не знает о выезде ребенка. В этом смысле в целях сохранения нервов и избежания подобных ситуаций целесообразно оформить нотариальное согласие.