Работодатель хочет сократить мать-одиночку, имеет ли работодатель на это право?

Смотря сколько лет ребенку. До 14 не могут, а после сократить могут, но должны быть соблюдены права.

Трудовой кодекс Российской Федерации. Статья 180. Гарантии и компенсации работникам при ликвидации организации, сокращении численности или штата работников организации

При проведении мероприятий по сокращению численности или штата работников организации работодатель обязан предложить работнику другую имеющуюся работу (вакантную должность) в соответствии с частью третьей статьи 81 настоящего Кодекса.

(в ред. Федерального закона от 30.06.2006 N 90-ФЗ)

О предстоящем увольнении в связи с ликвидацией организации, сокращением численности или штата работников организации работники предупреждаются работодателем персонально и под роспись не менее чем за два месяца до увольнения.

(в ред. Федерального закона от 30.06.2006 N 90-ФЗ)

Работодатель с письменного согласия работника имеет право расторгнуть с ним трудовой договор до истечения срока, указанного в части второй настоящей статьи, выплатив ему дополнительную компенсацию в размере среднего заработка работника, исчисленного пропорционально времени, оставшемуся до истечения срока предупреждения об увольнении.

(часть третья в ред. Федерального закона от 30.06.2006 N 90-ФЗ)

При угрозе массовых увольнений работодатель с учетом мнения выборного органа первичной профсоюзной организации принимает необходимые меры, предусмотренные настоящим Кодексом, иными федеральными законами, коллективным договором, соглашением.