Как подать ходатайство о проведении видеозаписи судебного заседания и что делать, если суд откажет?

Никакого, данный вопрос разрешается исключительно на усмотрение судьи и никаким образом Ваши права не нарушается;

"Гражданский процессуальный кодекс Российской Федерации" от 14.11.2002 N 138-ФЗ (ред. от 28.12.2017)

""ГПК РФ Статья 10. Гласность судебного разбирательства

""7. Лица, участвующие в деле, и граждане, присутствующие в открытом судебном заседании, имеют право в письменной форме, а также с помощью средств аудиозаписи фиксировать ход судебного разбирательства. Кино-и фотосъемка, видеозапись, трансляция судебного заседания по радио, телевидению и в информационно-телекоммуникационной сети "Интернет" допускаются с разрешения суда.

(в ред. Федерального закона от 29.07.2017 N 223-ФЗ)

(см. текст в предыдущей "редакции")

Записывайте на диктофон. Для аудиозаписи никакого разрешения суда не требуется, если конечно это не закрытое судебное заседание. Вам важно зафиксировать все что говорят, чтобы потом, ознакомившись с протоколом судебного заседания, в случае, если в нем что-то будет не отражено или искажено - принести замечания на протокол судебного заседания. А видеозапись, по сути она ни к чему. Вы же не корреспондент и цели у Вас другие, выиграть судебный спор, добиться справедливости.