Можно ли требовать увольнение по сокращению при предложении должности ниже или увольнении по собственному желанию на работе?

Можете либо по сокращению, либо по соглашению сторон. Если сокращают ставку, то в случае если в соглашении будут гарантии не меньше, чем при увольнении по сокращению, можно и согласиться на это. При этом имейте в виду, что согласно статье 180 Трудового кодекса РФ работодатель обязан предупредить Вас об увольнении за 2 месяца, в течение которых Вы вправе получать зарплату, а потом получить выходное пособие не менее чем за 2 месяца (сначала за первый, а если не устроитесь на работу, то за второй, а если встанете на биржу в течение 2 недель после увольнения, то в исключительных случаях - и за третий), исходя из среднего заработка (ст.178 Трудового кодекса РФ). Ну и компенсацию за неиспользованные отпуска не забудьте еще (ст.127 Трудового кодекса РФ). Таким образом, можно смело требовать отступные не меньше чем в указанном объеме, а если работодатель не будет на это согласен, то пусть увольняет по сокращению.