Правомерность заставлять многодетную мать писать заявление по собственному желанию и место обращения при угрозах

Нет, неправомерно. По собственному пишут, когда инициативу проявляет работник (ст.80 Трудового кодекса РФ). Если же это инициатива работодателя, то найти основание для увольнения должен работодатель (ст.81 Трудового кодекса РФ). Работник при этом никаких заявлений не пишет. Повод для жалобы в Государственную инспекцию труда по факту понуждения к увольнению.

Подавайте также жалобу в районную прокуратуру: в соответствии со ст.10 Федерального закона от 17 января 1992 г. N 2202-I "О прокуратуре Российской Федерации":

1. В органах прокуратуры в соответствии с их полномочиями разрешаются заявления, жалобы и иные обращения, содержащие сведения о нарушении законов. Решение, принятое прокурором, не препятствует обращению лица за защитой своих прав в суд. Решение по жалобе на приговор, решение, определение и постановление суда может быть обжаловано только вышестоящему прокурору.

2. Поступающие в органы прокуратуры заявления и жалобы, иные обращения рассматриваются в порядке и сроки, которые установлены федеральным законодательством.

3. Ответ на заявление, жалобу и иное обращение должен быть мотивированным. Если в удовлетворении заявления или жалобы отказано, заявителю должны быть разъяснены порядок обжалования принятого решения, а также право обращения в суд, если таковое предусмотрено законом.

4. Прокурор в установленном законом порядке принимает меры по привлечению к ответственности лиц, совершивших правонарушения.

5. Запрещается пересылка жалобы в орган или должностному лицу, решения либо действия которых обжалуются.