Возможно ли вступление в наследство спустя 5 лет и как начать процесс восстановления права на наследство для мужа, воспитывавшегося в приёмной семье?

Может.

В даном случае есть основания для восстановления срока принятия наследства.

Ст.1155 ГК -

1. По заявлению наследника, пропустившего срок, установленный для принятия наследства (статья 1154), суд может восстановить этот срок и признать наследника принявшим наследство, если наследник не знал и не должен был знать об открытии наследства или пропустил этот срок по другим уважительным причинам и при условии, что наследник, пропустивший срок, установленный для принятия наследства, обратился в суд в течение шести месяцев после того, как причины пропуска этого срока отпали.

Начинать нужно с обращения в нотариальную контору. Далее будет судебное разбирательство.