Можно ли подать встречный иск по делу если прошло уже 10 дней после, по причине появившихся новых обстоятельств.

Можно подать встречный иск. И новые обстоятельства тут не при чем. Главное, чтобы:

Статья 137. Предъявление встречного иска

Ответчик вправе до принятия судом решения предъявить к истцу встречный иск для совместного рассмотрения с первоначальным иском. Предъявление встречного иска осуществляется по общим правилам предъявления иска.

Статья 138. Условия принятия встречного иска

Судья принимает встречный иск в случае, если:

встречное требование направлено к зачету первоначального требования;

удовлетворение встречного иска исключает полностью или в части удовлетворение первоначального иска;

между встречным и первоначальным исками имеется взаимная связь и их совместное рассмотрение приведет к более быстрому и правильному рассмотрению споров.

Статья 244.14. Недопустимость соединения исковых требований и предъявления встречного иска

(введена Федеральным законом от 05.05.2014 N 126-ФЗ)

Соединение нескольких исковых требований, за исключением случая объединения истцом требований о возвращении двух и более детей, незаконно перемещенных в Российскую Федерацию или удерживаемых в Российской Федерации, или об осуществлении в отношении двух и более детей прав доступа на основании международного договора Российской Федерации, и предъявление встречного иска по делу о возвращении ребенка или об осуществлении прав доступа не допускаются.