Преподаватель в вузе - проблемы с оформлением трудового договора по внутреннему совместительству

Старайтесь получить все необходимые справки. И пока ничего делать не надо.

Согласно ТК РФ работодатель в любом случае обязан вам оплатить фактически отработанное время.

ТК РФ Статья 67. Форма трудового договора

Трудовой договор заключается в письменной форме, составляется в двух экземплярах, каждый из которых подписывается сторонами. Один экземпляр трудового договора передается работнику, другой хранится у работодателя. Получение работником экземпляра трудового договора должно подтверждаться подписью работника на экземпляре трудового договора, хранящемся у работодателя.

Трудовой договор, не оформленный в письменной форме, считается заключенным, если работник приступил к работе с ведома или по поручению работодателя или его уполномоченного на это представителя. При фактическом допущении работника к работе работодатель обязан оформить с ним трудовой договор в письменной форме не позднее трех рабочих дней со дня фактического допущения работника к работе, а если отношения, связанные с использованием личного труда, возникли на основании гражданско-правового договора, но впоследствии были признаны трудовыми отношениями, - не позднее трех рабочих дней со дня признания этих отношений трудовыми отношениями, если иное не установлено судом.

То, что не заключает с вами договор - прямое нарушение законодательства. Эта справка не входит в обязательный перечень документов, предъявляемых при поступлении на работу. Работодатель обязан заключить договор в течении трех дней (см.выше)

ТК РФ Статья 65. Документы, предъявляемые при заключении трудового договора

справку о наличии (отсутствии) судимости и (или) факта уголовного преследования либо о прекращении уголовного преследования по реабилитирующим основаниям, выданную в порядке и по форме, которые устанавливаются федеральным органом исполнительной власти, осуществляющим функции по выработке и реализации государственной политики и нормативно-правовому регулированию в сфере внутренних дел, - при поступлении на работу, связанную с деятельностью, к осуществлению которой в соответствии с настоящим Кодексом, иным федеральным законом не допускаются лица, имеющие или имевшие судимость, подвергающиеся или подвергавшиеся уголовному преследованию;

В случае отказа оплатить отработанное время - обращайтесь в ГИТ - трудовую инспекцию.