Онлайн-оператору связи потребовалось заплатить за пропавшие товары после инвентаризации - есть ли у него такая обязанность?

Это неправомерно. Если нет Вашей вины тем более. Пусть доказывают Вашу вину и предъявляют возмещение ущерба в установленном порядке. Можете обратиться в прокуратуру.

Федеральный закон от 17.01.1992 N 2202-1 (ред. от 03.08.2018) "О прокуратуре Российской Федерации"

Статья 10. Рассмотрение и разрешение в органах прокуратуры заявлений, жалоб и иных обращений

1. В органах прокуратуры в соответствии с их полномочиями разрешаются заявления, жалобы и иные обращения, содержащие сведения о нарушении законов. Решение, принятое прокурором, не препятствует обращению лица за защитой своих прав в суд. Решение по жалобе на приговор, решение, определение и постановление суда может быть обжаловано только вышестоящему прокурору.

2. Поступающие в органы прокуратуры заявления и жалобы, иные обращения рассматриваются в порядке и сроки, которые установлены федеральным законодательством.

3. Ответ на заявление, жалобу и иное обращение должен быть мотивированным. Если в удовлетворении заявления или жалобы отказано, заявителю должны быть разъяснены порядок обжалования принятого решения, а также право обращения в суд, если таковое предусмотрено законом.

4. Прокурор в установленном законом порядке принимает меры по привлечению к ответственности лиц, совершивших правонарушения.

5. Запрещается пересылка жалобы в орган или должностному лицу, решения либо действия которых обжалуются.