Можно ли это оформить в самом ЗАГСе, где было получен св-во о рождении?

Сам по себе отказ от родительских прав Семейным кодексом России не предусмотрен, в том числе в пользу одного из родителей.

Вы можете обратиться в суд с иском о лишении родительских прав. Исчерпывающий перечень оснований для лишения родительских прав содержит ст.69 Семейного кодекса РФ. В частности, родители (один из них) могут быть лишены родительских прав, если они:

уклоняются от выполнения обязанностей родителей, в том числе при злостном уклонении от уплаты алиментов;

отказываются без уважительных причин взять своего ребенка из родильного дома (отделения) либо из иного лечебного учреждения, воспитательного учреждения, учреждения социальной защиты населения или из других аналогичных учреждений;

злоупотребляют своими родительскими правами;

жестоко обращаются с детьми, в том числе осуществляют физическое или психическое насилие над ними, покушаются на их половую неприкосновенность;

являются больными хроническим алкоголизмом или наркоманией;

совершили умышленное преступление против жизни или здоровья своих детей либо против жизни или здоровья супруга.

Т.о. для лишения родительских прав нужны очень веские доказательства. Дела о лишении родительских прав рассматриваются с участием прокурора и органа опеки и попечительства.

С уважением,