Может ли бабушке отказать в отпуске по уходу за внучкой и не заключить новый трудовой договор?

Не имеют права. Смена руководства вообще не влияет на трудовые отношения. У нее должен остаться прежний договор (ст. 57 ТК РФ). Это не основание для увольнения (ст. 81 ТКРФ) . и гарантии должны предоставляться далее.

Добрый день!

Смена руководства не является основанием.

Если будут сокращать штат, тогда имеют право не заключать новый договор.

ТК РФ. Статья 256. Отпуска по уходу за ребенком

По заявлению женщины ей предоставляется отпуск по уходу за ребенком до достижения им возраста трех лет.

Отпуска по уходу за ребенком могут быть использованы полностью или по частям также отцом ребенка, бабушкой, дедом, другим родственником или опекуном, фактически осуществляющим уход за ребенком.

По заявлению женщины или лиц, указанных в части второй настоящей статьи, во время нахождения в отпусках по уходу за ребенком они могут работать на условиях неполного рабочего времени или на дому с сохранением права на получение пособия по государственному социальному страхованию.

На период отпуска по уходу за ребенком за работником сохраняется место работы (должность).

Отпуска по уходу за ребенком засчитываются в общий и непрерывный трудовой стаж, а также в стаж работы по специальности (за исключением случаев досрочного назначения страховой пенсии по старости).