Могут ли отказать в отпуске для оформления опеки в связи с производственной необходимостью?

Да, может отказать. Т.к. основания когда должен предоставить предусмотрены законом.

А именно ст. 128 ТК РФ.

Формально согласно статье 128 Трудового кодекса Российской Федерации предоставление отпуска за счёт работника является правом работодателя, а не всегда его обязанностью. В данном случае он может отказать в предоставлении такого отпуска. Однако если зайти не со стороны претензий к работодателю, а со стороны просьбы, то высокие шансы на то, что работодатель отпуск предоставит. Обязанность вытекает в случаях, строго определенных статьей 128 Трудового кодекса РФ:

- участникам Великой Отечественной войны - до 35 календарных дней в году;

- работающим пенсионерам по старости (по возрасту) - до 14 календарных дней в году;

- родителям и женам (мужьям) военнослужащих, сотрудников органов внутренних дел, федеральной противопожарной службы, таможенных органов, сотрудников учреждений и органов уголовно-исполнительной системы, погибших или умерших вследствие ранения, контузии или увечья, полученных при исполнении обязанностей военной службы (службы), либо вследствие заболевания, связанного с прохождением военной службы (службы), - до 14 календарных дней в году;

- работающим инвалидам - до 60 календарных дней в году;

- работникам в случаях рождения ребенка, регистрации брака, смерти близких родственников - до пяти календарных дней;

- в других случаях, предусмотренных ТК РФ, иными федеральными законами либо коллективным договором.

Статья 128. Отпуск без сохранения заработной платы

По семейным обстоятельствам и другим уважительным причинам работнику по его письменному заявлению может быть предоставлен отпуск без сохранения заработной платы, продолжительность которого определяется по соглашению между работником и работодателем.

Работодатель обязан на основании письменного заявления работника предоставить отпуск без сохранения заработной платы:

участникам Великой Отечественной войны - до 35 календарных дней в году;

работающим пенсионерам по старости (по возрасту) - до 14 календарных дней в году;

родителям и женам (мужьям) военнослужащих, сотрудников органов внутренних дел, федеральной противопожарной службы, таможенных органов, сотрудников учреждений и органов уголовно-исполнительной системы, погибших или умерших вследствие ранения, контузии или увечья, полученных при исполнении обязанностей военной службы (службы), либо вследствие заболевания, связанного с прохождением военной службы (службы), - до 14 календарных дней в году;

работающим инвалидам - до 60 календарных дней в году;

работникам в случаях рождения ребенка, регистрации брака, смерти близких родственников - до пяти календарных дней;

в других случаях, предусмотренных настоящим Кодексом, иными федеральными законами либо коллективным договором.

Здравствуйте, уважаемая Ирина!

Во-первых, отпуск без сохранения заработной платы работнику предоставляется на основании его письменного заявления согласно статьи 128 Трудового кодекса РФ (кратко - ТК РФ).

Статья 128. Отпуск без сохранения заработной платы

По семейным обстоятельствам и другим уважительным причинам работнику по его письменному заявлению может быть предоставлен отпуск без сохранения заработной платы, продолжительность которого определяется по соглашению между работником и работодателем.

Работодатель обязан на основании письменного заявления работника предоставить отпуск без сохранения заработной платы:

участникам Великой Отечественной войны - до 35 календарных дней в году;

работающим пенсионерам по старости (по возрасту) - до 14 календарных дней в году;

родителям и женам (мужьям) военнослужащих, сотрудников органов внутренних дел, федеральной противопожарной службы, таможенных органов, сотрудников учреждений и органов уголовно-исполнительной системы, погибших или умерших вследствие ранения, контузии или увечья, полученных при исполнении обязанностей военной службы (службы), либо вследствие заболевания, связанного с прохождением военной службы (службы), - до 14 календарных дней в году;

(в ред. Федеральных законов от 02.07.2013 N 157-ФЗ, от 03.07.2016 N 305-ФЗ)

работающим инвалидам - до 60 календарных дней в году;

работникам в случаях рождения ребенка, регистрации брака, смерти близких родственников - до пяти календарных дней;

в других случаях, предусмотренных настоящим Кодексом, иными федеральными законами либо коллективным договором.

Во-вторых, не совсем понятна ваша информация в этом юридическом вопросе по поводу "заняться роиском ребенка" и "в связи с производственной необходимостью".

Отпуск без сохранения заработной платы работодатель может предоставить, а может и отказать, если у Вас нет льготы для обязательного предоставления Вам такого отпуска работодателем.

Всего Вам доброго.

Ст. 128 ТК РФ предоставляет работодателю право на предоставления отпуска без содержания. Норма эта не императивная, перечень лиц и событий для предоставления такого отпуска является открытым (на усмотрение работодателя. Попытайтесь убедить работодателя в необходимости предоставления Вам такого отпуска.