Как помочь внучке, отказывающейся переезжать с матерью в другую страну?

Место жительства несовершеннолетних детей определяется по месту жительству их родителей (законных представителей). Если отец ребенка в порядке ч. 3 ст. 65 СК РФ обратится в суд с заявлением об определении места жительства ребенка, то есть вероятность, что место жительства ребенка будет определено с отцом и мать не сможет увезти ребенка в Грузию. В подавляющем большинстве случаев место жительства ребенка определяют с матерью, а не с отцом. Шансы у отца есть, если мать ведет явно антисоциальный образ жизни либо если мать является гражданином иностранного государства и (или) проживает на территории иностранного государства. Т.к. внучке уже больше 10 лет, то ее мнение будет обязательно учитываться при решении вопроса об определении места жительства. Таким образом, в этой ситуации Вы можете подключить отца ребенка и есть вероятность определения места жительства ребенка с ним, если мать иностранная гражданка и (или) зарегистрирована по месту жительства в другом государстве.

Также Вы как бабушка можете обратиться в суд с иском об определении порядка общении с внучкой. Согласно ч. 3 ст. 55 СК РФ:

Ребенок имеет право на общение с обоими родителями, дедушкой, бабушкой, братьями, сестрами и другими родственниками. Расторжение брака родителей, признание его недействительным или раздельное проживание родителей не влияют на права ребенка.

В случае раздельного проживания родителей ребенок имеет право на общение с каждым из них. Ребенок имеет право на общение со своими родителями также в случае их проживания в разных государствах.

Это даст минимальные гарантии того, что мать позволит Вам общаться с внучкой. Гарантии, скорее, морально-психологического свойства, потому что мало юридических механизмов воздействия на родителей, препятствующих общению ребенка с другими родственниками.