Может ли ИП-арендодатель стать директором бюджетной организации?

Да, Может стать директором. Если требованиями, в том числе уставными документами это не запрещено. Федеральным законом от 12.01.1996 N 7-ФЗ «О некоммерческих организациях", в ст. 9.2 запретов не предусмотрено.

Вообще то прямой запрет на занятие предпринимательской деятельностью имеется в отношении государственных служащих-Федеральный закон "О государственной гражданской службе Российской Федерации" от 27.07.2004 N 79-ФЗ (последняя редакция) и в отношении муниципальных служащих-Федеральный закон от 2 марта 2007 г. N 25-ФЗ "О муниципальной службе в Российской Федерации" (с изменениями и дополнениями)

Директор же судя по всему не является ни госслужащим ни муниципальным служащим Его статус определяется внутренними документами института, поэтому если в Уставе этого института не содержится норма о запрете директору заниматься предпринимательской деятельностью-то директор может ей заниматься в статусе ИП.

Добрый день, Наталья!

Может, если его должность не относится к государственной службе.

В соответствии с п.3 ч.1 ст. 17 Федерального закона от 27.07.2004 N 79-ФЗ «О государственной гражданской службе Российской Федерации» в период прохождения гражданской службы не вправе заниматься предпринимательской деятельностью лично или через доверенных лиц.

В соответствии со ст. 23 Гражданского Кодекса РФ гражданин вправе заниматься предпринимательской деятельностью без образования юридического лица с момента государственной регистрации в качестве индивидуального предпринимателя.