Нужно ли оформлять собственную лицензию на арендуемый кабинет в частной медицинской организации с лицензией?

Осуществлять свою деятельность по лицензии медицинской организации вы не можете. Медицинская организация получила лицензию на себя (на свое юридическое лицо), вы как арендатор не имеете отношение к данной организации. Ваши отношения начинаются и заканчиваются договором аренды или субаренды. Они за Вас не отвечают в части вашего соблюдения или нарушения законодательства.