На данный момент долг по капитальному ремонту 20 тыс. Руб. Могу ли я его оплатить частями или надо сразу всю сумму?

Можно и частями, и всю сумму, но нельзя забывать о процентах и про это:

Сумма произведенного платежа, недостаточная для исполнения денежного обязательства полностью, при отсутствии иного соглашения погашает прежде всего издержки кредитора по получению исполнения, затем - проценты, а в оставшейся части - основную сумму долга (ст. 319 ГК РФ).

Долг могут взыскать только за 3 последних года. Это общий срок давности. При внесении любого платежа срок давности начнёт течь заново. И так если например у Вас долг с 1 января 2015 года по 1 января 2019 года, то при судебном рассмотрении смогут взыскать только за три последних года, т. е за период с 1 января 2016 года по 1 Янв. 2019 года. А за 2015 год не смогут. Только Вам необходимо присутствовать в судебном заседании и заявить о применении срока исковой давности. Но сначала с Вас взыщут в упрощённом порядке. Т. Е. Обратятся за судебным приказом к мировому судье. О том что вынесен судебный приказ чаще всего Вы узнаете только когда приставы возбудят исполнительном производство. В этом случае сразу же нужно будет обратиться в тот суд где вынесен судебный приказ и подать заявление о его отмене. А потом ждать когда на вас подадут иск, явиться в судебное заседание, и заявить о сроке давности, если конечно долг образовался более чем за 3 года. А платить действительно можете любыми сумами.