Подписывать или нет - неполный договор без числа и подписи гендиректора во время аудита на работе

Здравствуйте, Ирина. Безусловно не нужно идти на эти "афёры".

Статья 61. Вступление трудового договора в силу

Трудовой договор вступает в силу со дня его подписания работником и работодателем, если иное не установлено настоящим Кодексом, другими федеральными законами, иными нормативными правовыми актами Российской Федерации или трудовым договором, либо со дня фактического допущения работника к работе с ведома или по поручению работодателя или его уполномоченного на это представителя.

(в ред. Федеральных законов от 30.06.2006 N 90-ФЗ, от 28.12.2013 N 421-ФЗ)

Работник обязан приступить к исполнению трудовых обязанностей со дня, определенного трудовым договором.

Если в трудовом договоре не определен день начала работы, то работник должен приступить к работе на следующий рабочий день после вступления договора в силу.

(в ред. Федерального закона от 30.06.2006 N 90-ФЗ)

Если работник не приступил к работе в день начала работы, установленный в соответствии с частью второй или третьей настоящей статьи, то работодатель имеет право аннулировать трудовой договор. Аннулированный трудовой договор считается незаключенным. Аннулирование трудового договора не лишает работника права на получение обеспечения по обязательному социальному страхованию при наступлении страхового случая в период со дня заключения трудового договора до дня его аннулирования.

(часть четвертая в ред. Федерального закона от 30.06.2006 N 90-ФЗ)