Могут ли отказать в постановке на учет в центре занятости, если имеется запись в трудовой книжке о увольнении за прогулы?

На учет по безработице ЦЗН принять Вас обязан. Но пособие по безработице будет минимальное.

Ст.34 Закона РФ от 19.04.1991 N 1032-1 (ред. от 11.12.2018) "О занятости населения в Российской Федерации"

Пособие по безработице во всех иных случаях гражданам, признанным в установленном порядке безработными, в том числе гражданам, впервые ищущим работу (ранее не работавшим), гражданам, стремящимся возобновить трудовую деятельность после длительного (более одного года) перерыва, гражданам, прекратившим индивидуальную предпринимательскую деятельность в установленном законодательством порядке, гражданам, уволенным за нарушение трудовой дисциплины или другие виновные действия, предусмотренные законодательством Российской Федерации, гражданам, уволенным по любым основаниям в течение 12 месяцев, предшествовавших началу безработицы, и состоявшим в этот период в трудовых (служебных) отношениях менее 26 недель, гражданам, направленным органами службы занятости на обучение и отчисленным за виновные действия, гражданам, вышедшим из членов крестьянского (фермерского) хозяйства, а также гражданам, не представившим справку о среднем заработке за последние три месяца по последнему месту работы (службы), начисляется в размере минимальной величины пособия по безработице, увеличенной на размер районного коэффициента, если иное не предусмотрено настоящим Законом.