Правомерно ли требовать арендную плату за использование шлагбаума на территории многоквартирного дома?

На Гражданский кодекс РФ можете сослаться.

Если Вы зарегистрированы вместе с бабушкой. То обладаете такими ж правами, поэтому отказывать Вам в пользовании зем. участков под домом, права не имеют;

Подготовлены "редакции" документа с изменениями, не вступившими в силу

"Жилищный кодекс Российской Федерации" от 29.12.2004 N 188-ФЗ (ред. от 15.04.2019) (с изм. и доп., вступ. В силу с 26.04.2019)

""ЖК РФ Статья 31. Права и обязанности граждан, проживающих совместно с собственником в принадлежащем ему жилом помещении

""1. К членам семьи собственника жилого помещения относятся проживающие совместно с данным собственником в принадлежащем ему жилом помещении его супруг, а также дети и родители данного собственника. Другие родственники, нетрудоспособные иждивенцы и в исключительных случаях иные граждане могут быть признаны членами семьи собственника, если они вселены собственником в качестве членов своей семьи.

""2. Члены семьи собственника жилого помещения имеют право пользования данным жилым помещением наравне с его собственником, если иное не установлено соглашением между собственником и членами его семьи. Члены семьи собственника жилого помещения обязаны использовать данное жилое помещение по назначению, обеспечивать его сохранность.

""3. Дееспособные и ограниченные судом в дееспособности члены семьи собственника жилого помещения несут солидарную с собственником ответственность по обязательствам, вытекающим из пользования данным жилым помещением, если иное не установлено соглашением между собственником и членами его семьи.

(в ред. Федерального закона от 24.04.2008 N 49-ФЗ)