Нужно ли согласие биологического отца на вывоз ребёнка из страны, если он едет с мамой отдыхать, при условии, что отец живет в другом городе и не записан в свидетельстве о рождении?

Не нужно разрешение отца на выезд. Вам неправильно написали.

В Вашей ситуации согласие биологического отца на выезд не нужно.

В случае, если ребенок выезжает из России хотя бы с одним родителем, согласия на выезд ребенка за границу от второго родителя не требуется. Если несовершеннолетний выезжает из России без сопровождения родителей, усыновителей, опекунов или попечителей, он должен иметь при себе кроме паспорта нотариально оформленное согласие от одного из этих лиц (оригинал) на выезд несовершеннолетнего гражданина России. В этом документе должен быть указан срок выезда и страна, которую он намерен посетить. При этом согласие от второго родителя также не требуется.

Федеральный закон от 15.08.1996 N 114-ФЗ (ред. от 17.06.2019) "О порядке выезда из Российской Федерации и въезда в Российскую Федерацию" (с изм. и доп., вступ. В силу с 01.07.2019):

Статья 20. Несовершеннолетний гражданин Российской Федерации, как правило, выезжает из Российской Федерации совместно хотя бы с одним из родителей, усыновителей, опекунов или попечителей. В случае, если несовершеннолетний гражданин Российской Федерации выезжает из Российской Федерации без сопровождения, он должен иметь при себе кроме паспорта нотариально оформленное согласие названных лиц на выезд несовершеннолетнего гражданина Российской Федерации с указанием срока выезда и государства (государств), которое (которые) он намерен посетить.

Статья 21. В случае, если один из родителей, усыновителей, опекунов или попечителей заявит о своем несогласии на выезд из Российской Федерации несовершеннолетнего гражданина Российской Федерации, вопрос о возможности его выезда из Российской Федерации разрешается в судебном порядке.

То есть, если ребенок едет с одним из родителей, то согласие второго родителя не требуется, при условии отсутствия заявления от него о несогласии.