Почему бывший муж просит свидетельства о рождении детей, если он не указан как отец?

Я могу ответить только на первую часть вопроса: "зачем ему все эти свидетельства о рождении..." Затем, что он является фактическим/биологическим отцом трех Ваших детей, у которых в графе "отец" стоИт прочерк в свидетельствах о рождении. Именно об этом спрашивает американская иммиграционная анкета, когда просит назвать всех близких родственников. Ответы на все ее вопросы всегда следует давать по факту. Если он уже сообщил, что является отцом четырех детей, то должен предоставить документы об их рождении. Так что бывший муж в данном случае Вас не обманывает.

Давать ему или нет эти документы - решать только Вам. Но допустим, что Ваш бывший муж делает себе иммиграционную визу или в будущем планирует уехать в США на пмж. Тогда, даже если в свидетельстве о рождении ребенка он не указан как отец, при наличии признания обеими сторонами (Вами и им) факта отцовства ребенок когда-нибудь в будущем при желании сможет приехать в США к отцу. У меня в практике был такой прецедент. В противном случае эта возможность станет крайне маловероятной: Вы ее для своего ребенка практически закроете.

Ну и еще одно соображение. Если имеется факт признания отцовства обеими сторонами, а Ваш бывший муж будет работать в США, Вы - при необходимости - можете получать с него алименты на детей.