Начальство перенесло отпуск на октябрь, когда младшему ребенку исполнится 1 год - есть ли основания для таких действий?

Если планировался на лето, то скорее всего согласно ст.123 Трудового кодекса РФ он возможно был в графике отпусков на это время, а график отпусков обязателен для работодателя. Неправомерны именно по этой причине.

Если же в графике отпуска на лето изначально не было, то могли поставить и на другое время. Т.е. все зависит от того, когда по графику был отпуск. Если график не изменился, то нарушения закона нет. И работодатель может отказать в предоставлении отпуска летом.

Что касается отпуска в удобное время, то согласно ст.262.2 Трудового кодекса РФ для этого нужно иметь троих детей до 12 лет, а у Вас только двое:

Статья 262.2. Очередность предоставления ежегодных оплачиваемых отпусков работникам, имеющим трех и более детей

Работникам, имеющим трех и более детей в возрасте до двенадцати лет, ежегодный оплачиваемый отпуск предоставляется по их желанию в удобное для них время.

Однако есть нюанс по поводу отпуска за свой счет при наличии этого в коллективно договоре, но это вряд ли Ваш случай. Согласно ст.263 Трудового кодекса РФ:

Работнику, имеющему двух или более детей в возрасте до четырнадцати лет, работнику, имеющему ребенка-инвалида в возрасте до восемнадцати лет, одинокой матери, воспитывающей ребенка в возрасте до четырнадцати лет, отцу, воспитывающему ребенка в возрасте до четырнадцати лет без матери, коллективным договором могут устанавливаться ежегодные дополнительные отпуска без сохранения заработной платы в удобное для них время продолжительностью до 14 календарных дней. Указанный отпуск по письменному заявлению работника может быть присоединен к ежегодному оплачиваемому отпуску или использован отдельно полностью либо по частям. Перенесение этого отпуска на следующий рабочий год не допускается.