Существует ли доверенность по которой я могу получить доступ к чужой ячейке в банке?

Да существует. Сбербанк РФ, например, разместил на своем официальном сайте следующую информацию.

Арендатор может передать своему представителю следующие полномочия:

— осуществление всех прав и обязанностей, вытекающих из договора;

— однократный и неоднократный доступ к сейфу;

— осмотр сейфа, вложение и изъятие предметов в течение срока действия договора;

— заключение договора аренды и дополнительных соглашений, в том числе о продлении срока аренды, оплате аренды, допуске к сейфу расширенного круга лиц, замене сейфа;

— на действия по восстановлению работоспособности сейфа, например: внесение платы за восстановление работоспособности сейфа, подача заявления о повреждении или утрате ключа и т.п.;

— завершение аренды сейфа, в том числе возврат ключа от сейфа, внесение арендной платы и других платежей в случае несвоевременного завершения аренды, а также получение части арендной платы при досрочном расторжении договора;

— другие полномочия.

Частные клиенты и индивидуальные предприниматели могут оформить доверенности у нотариуса. Юридические лица оформляют доверенности по правилам, установленным ГК РФ. В доверенности, в том числе генеральной, обязательно должны быть наименование и адрес офиса банка, в котором арендуется сейф, номер сейфа, а также полномочия, которыми наделяется представитель арендатора. Если доверенность выдается на заключение договора, то наименование и адрес офиса банка, номер сейфа могут не указываться.