Как сохранить родительские права, если теща хочет забрать ребенка у отца-нелегало?

Исчерпывающий перечень оснований для лишения родительских прав дан в 69 статье Семейного Кодекса. Вот они:

Родители (один из них) могут быть лишены родительских прав, если они:

уклоняются от выполнения обязанностей родителей, в том числе при злостном уклонении от уплаты алиментов;

отказываются без уважительных причин взять своего ребенка из родильного дома (отделения) либо из иной медицинской организации, образовательной организации, организации социального обслуживания или из аналогичных организаций;

злоупотребляют своими родительскими правами;

жестоко обращаются с детьми, в том числе осуществляют физическое или психическое насилие над ними, покушаются на их половую неприкосновенность;

являются больными хроническим алкоголизмом или наркоманией;

совершили умышленное преступление против жизни или здоровья своих детей, другого родителя детей, супруга, в том числе не являющегося родителем детей, либо против жизни или здоровья иного члена семьи.

То есть вам нужно просто не совершать указанных действий, и осуществлять заботу о своем ребенке. В любом случае, доказывать факты нарушения вами своих родительских обязанностей или прав ребенка должна будет теща, так как, согласно ч. 1 ст. 56 ГПК РФ, каждая сторона должна доказать те обстоятельства, на которые она ссылается как на основания своих требований и возражений, если иное не предусмотрено федеральным законом.

Удачи вам!