Отказ принять жалобу по электронной почте - закономерный ли шаг?

Это не документ. Это электронная копия документа. На заявлении должна быть"живая" подпись. Если заявление электронное - электронная подпись.

Вот ответ на ваш вопрос, на официальном сайте ГЖИ Мурманской области размещена информация:

С 01.01.2017 вступил в силу Федеральный закон от 03.07.2016 № 277-ФЗ «О внесении изменений в Федеральный закон «О защите прав юридических лиц и индивидуальных предпринимателей при осуществлении государственного контроля (надзора) и муниципального контроля» и Федеральный закон «О стратегическом планировании в Российской Федерации».

В соответствии с ч. 3 ст. 10 действующей редакции Федерального закона от 26.12.2008 № 294-ФЗ «О защите прав юридических лиц и индивидуальных предпринимателей при осуществлении государственного контроля (надзора) и муниципального контроля» (далее – Федеральный закон № 294-ФЗ) обращения и заявления, направленные заявителем в форме электронных документов, могут служить основанием для проведения внеплановой проверки только при условии, что они были направлены заявителем с использованием средств информационно-коммуникационных технологий, предусматривающих обязательную авторизацию заявителя в единой системе идентификации и аутентификации: сайт Государственных услуг Российской Федерации (далее – сайт госуслуг)

Обращения, направленные в форме электронных документов на почту ГЖИ Мурманской области, с 01.01.2017 не являются основанием для проведения проверок. РАЗЪЯСНЕНИЯ ПРОКУРАТУРЫ МУРМАНСКОЙ ОБЛАСТИ по проведению проверок по электронным обращениям.

gzhi.gov-murman.ru

При этом напоминаем, что граждане могут направлять обращения почтой или передавать лично в приемной по обращениям ГЖИ Мурманской области.

Если проверка юридического лица или индивидуального предпринимателя контролирующим органом будет проведена по неавторизованному обращению заявителя, то такое мероприятие, на основании п. 1 ч. 2 ст. 20 Федерального закона № 294-ФЗ будет считаться незаконным, что повлечет за собой недействительность результатов.

Обжалуйте данные действия в прокуратуру.