Как выделить долю детям при покупке квартиры, если они живут в другом городе?

Здравствуйте, Елена! Если дети совершеннолетние, то нужна доверенность от них (ст.185-185.1 ГК РФ). В этом случае их личное присутствие не понадобится. Копии паспортов не нужны. Оригиналы просто нужно будет предъявить при удостоверении доверенности у нотариуса. А саму доверенность можно выслать почтой. Нотариус уполномочен удостоверять доверенности согласно требованиям ст.59 Основ законодательства Российской Федерации о нотариате от 11 февраля 1993 г. N 4462-I:

Статья 59. Удостоверение доверенностей

Нотариус удостоверяет доверенности от имени одного или нескольких лиц, на имя одного или нескольких лиц.

Доверенность, выдаваемая в порядке передоверия, подлежит нотариальному удостоверению по представлении основной доверенности, в которой оговорено право передоверия, либо по представлении доказательств того, что представитель по основной доверенности вынужден к этому силою обстоятельств для охраны интересов выдавшего доверенность. Доверенность, выданная в порядке передоверия, не должна содержать в себе больше прав, чем предоставлено по основной доверенности. Срок действия доверенности, выданной в порядке передоверия, не может превышать срока действия доверенности, на основании которой она выдана.