Нет, оба родителя обращаются в ЗАГС в порядке статьи 50 Федерального закона "Об актах гражданского состояния". Можно и отдельными заявлениями, с нотариальным удостоверением подписей, но волеизъявление в любом случае должно исходить как от матери ребёнка, так и от его отца. Читайте:

Статья 50. Государственная регистрация установления отцовства на основании совместного заявления отца и матери ребенка, не состоящих между собой в браке на момент рождения ребенка

1. Совместное заявление об установлении отцовства отца и матери ребенка, не состоящих между собой в браке на момент рождения ребенка, подается ими в письменной форме в орган записи актов гражданского состояния.

1.1. Совместное заявление об установлении отцовства может быть направлено в орган записи актов гражданского состояния в форме электронного документа через единый портал государственных и муниципальных услуг и региональные порталы государственных и муниципальных услуг. Заявление об установлении отцовства, которое направляется в форме электронного документа, подписывается простой электронной подписью каждого заявителя.

2. Совместное заявление об установлении отцовства может быть подано при государственной регистрации рождения ребенка, а также после государственной регистрации рождения ребенка.

3. В случае, если имеются основания предполагать, что подача совместного заявления об установлении отцовства после рождения ребенка может оказаться невозможной или затруднительной, будущие отец и мать ребенка, не состоящие между собой в браке на момент рождения ребенка, могут подать такое заявление во время беременности матери. При наличии такого заявления государственная регистрация установления отцовства производится одновременно с государственной регистрацией рождения ребенка и новое заявление не требуется, если до государственной регистрации рождения ребенка ранее поданное заявление не было отозвано отцом или матерью.

4. В совместном заявлении об установлении отцовства должны быть подтверждены признание отцовства лицом, не состоящим в браке с матерью ребенка, и согласие матери на установление отцовства. В данном заявлении также должны быть указаны следующие сведения:

фамилия, имя, отчество, дата и место рождения, гражданство, национальность (указывается по желанию заявителя), место жительства лица, признающего себя отцом ребенка;

фамилия, имя, отчество, пол, дата и место рождения ребенка, а также реквизиты записи акта о его рождении (наименование органа записи актов гражданского состояния, которым произведена государственная регистрация рождения ребенка, дата составления и номер) (при установлении отцовства после государственной регистрации рождения ребенка);

фамилия, имя, отчество, дата и место рождения, гражданство, национальность (указывается по желанию заявителя), место жительства матери ребенка;

реквизиты записи акта о заключении брака (наименование органа записи актов гражданского состояния, которым произведена государственная регистрация заключения брака, дата составления и номер) (в случае вступления матери ребенка в брак с его отцом после рождения ребенка);

фамилия, имя, отчество ребенка после установления отцовства;

реквизиты документов, удостоверяющих личности отца и матери ребенка.

Заявители подписывают совместное заявление об установлении отцовства и указывают дату его составления.

В таком заявлении, поданном до рождения ребенка, подтверждается соглашение родителей будущего ребенка на присвоение ему фамилии отца или матери и имени (в зависимости от пола рожденного ребенка).

При установлении отцовства после рождения ребенка одновременно с совместным заявлением об установлении отцовства представляется свидетельство о рождении ребенка, а в случае подачи такого заявления до рождения ребенка документ, подтверждающий беременность матери, выданный медицинской организацией или индивидуальным предпринимателем, осуществляющим медицинскую деятельность.

5. В случае, если отец или мать ребенка не имеют возможности лично подать в орган записи актов гражданского состояния заявление, предусмотренное пунктом 1 настоящей статьи, их волеизъявление может быть оформлено отдельными заявлениями об установлении отцовства.

Подпись лица, не имеющего возможности присутствовать при подаче такого заявления, должна быть нотариально удостоверена. К нотариально удостоверенной подписи отца или матери ребенка, совершенной на заявлении об установлении отцовства, приравнивается удостоверенная начальником места содержания под стражей или начальником исправительного учреждения подпись подозреваемого или обвиняемого, содержащегося под стражей, либо осужденного, отбывающего наказание в исправительном учреждении.

6. В случае направления в форме электронного документа совместного заявления об установлении отцовства документы, указанные в настоящей статье, представляются заявителями при личном обращении в орган записи актов гражданского состояния в назначенное для государственной регистрации установления отцовства время.