Должны ли в ГАИ теперь дело закрыть или они имеют возможность продлить срок?

Пока могут не закрывать. Сроки не вышли.

КоАП РФ.

" Статья 28.7. Административное расследование

5. Срок проведения административного расследования не может превышать один месяц с момента возбуждения дела об административном правонарушении. В исключительных случаях указанный срок по письменному ходатайству должностного лица, в производстве которого находится дело, может быть продлен вышестоящим должностным лицом на срок не более одного месяца, а по делам о нарушении таможенных правил начальником вышестоящего таможенного органа на срок до шести месяцев.

6. По окончании административного расследования составляется протокол об административном правонарушении либо выносится постановление о прекращении дела об административном правонарушении.

Статья 29.6. Сроки рассмотрения дела об административном правонарушении

1. Дело об административном правонарушении рассматривается в пятнадцатидневный срок со дня получения судьей, органом, должностным лицом, правомочными рассматривать дело, протокола об административном правонарушении и других материалов дела.

2. В случае поступления ходатайств от участников производства по делу об административном правонарушении либо в случае необходимости в дополнительном выяснении обстоятельств дела срок рассмотрения дела может быть продлен судьей, органом, должностным лицом, рассматривающими дело, но не более чем на один месяц. О продлении указанного срока судья, орган, должностное лицо, рассматривающие дело, выносят мотивированное определение".