Отец ребенка отсутствует в свидетельстве о рождении - Загс при роддоме вписал первого мужа матери, был ли это законным решением?

Они поступили в полном соответствии с законом.

Согласно

ст.ст. 48-52 СК РФ, если ребенок родился от лиц, состоящих в браке между собой, а также в течение трехсот дней с момента расторжения брака, признания его недействительным или с момента смерти супруга матери ребенка, отцом ребенка признается супруг (бывший супруг) матери, если не доказано иное. Отцовство супруга матери ребенка удостоверяется записью об их браке. Отцовство лица, не состоящего в браке с матерью ребенка, устанавливается путем подачи в орган записи актов гражданского состояния совместного заявления отцом и матерью ребенка

Установление и оспаривание отцовства производятся в судебном порядке, по требованию лица, записанного в качестве отца или матери ребенка, либо лица, фактически являющегося отцом или матерью ребенка, а также самого ребенка по достижении им совершеннолетия, опекуна (попечителя) ребенка, опекуна родителя, признанного судом недееспособным. При этом суд принимает во внимание любые доказательства, с достоверностью подтверждающие происхождение ребенка от конкретного лица.

Согласно п. 6 Постановления Пленума Верховного суда РФ "О применении судами Семейного Кодекса Российской Федерации при рассмотрении дел об установлении отцовства и о взыскании алиментов", заключение экспертизы по вопросу о происхождении ребенка, в том числе проведенной методом "генетической дактилоскопии", в силу ч. 3 ст. 86 ГПК РФ является одним из доказательств, которое должно быть оценено судом в совокупности с другими имеющимися в деле доказательствами, поскольку в соответствии с ч. 2 ст. 67 ГПК РФ никакие доказательства не имеют для суда заранее установленной силы.

Вам надо грамотно составить иск, подумать, как Вы будете доказывать то, о чём Вы пишете в иске, подать его в суд по правилам подсудности, далее участвовать в процессе.

За ведением дела в суде можете обратиться к одному из ответивших Вам юристов.