Как получить образование педагога - через курсы переподготовки или нужно иметь базовое педагогическое образование?

Можете. Смотрите, например, формулировки профстандарта.

ПРОФЕССИОНАЛЬНЫЙ

СТАНДАРТ

Педагог (педагогическая деятельность в сфере дошкольного,

начального общего, основного общего, среднего общего образования) (воспитатель, учитель)

(утв. приказом Министерства труда и социальной защиты РФ от 18 октября 2013 г. N 544 н)

Требования к образованию и обучению

Учитель: высшее образование или среднее профессиональное образование в рамках укрупненных групп направлений подготовки высшего образования и специальностей среднего профессионального образования "Образование и педагогические науки" или в области, соответствующей преподаваемому предмету, либо высшее образование или среднее профессиональное образование и дополнительное профессиональное образование по направлению деятельности в образовательной организации;

Воспитатель: высшее образование или среднее профессиональное образование в рамках укрупненных групп направлений подготовки высшего образования и специальностей среднего профессионального образования "Образование и педагогические науки" либо высшее образование или среднее профессиональное образование и дополнительное профессиональное образование по направлению деятельности в образовательной организации