Виноваты налоговая организация и сотрудники сберегательной кассы - как решить проблему с отказом в пособии на ребенка?

А почему Вы видите тут чью-то вину?

Доход в виде вахтовой надбавки не указан как не учитываемый в доход семьи при назначении пособия.

См. п. 25 Постановление Правительства РФ от 31.03.2020 N 384 (ред. от 31.03.2021) "Об утверждении основных требований к порядку назначения и осуществления ежемесячной денежной выплаты на ребенка в возрасте от 3 до 7 лет включительно, примерного перечня документов (сведений), необходимых для назначения указанной ежемесячной выплаты, и типовой формы заявления о ее назначении".

То, что с этой надбавки не платится НДФЛ и она не облагается страховыми взносами, не означает, что она не является доходом.