Как решить проблему с нерегистрируемым автомобилем после замены мотора на аналогичный модельный номер?

Иван, письменный отказ вы можете обжаловать в прокуратуру либо в суд.

С 2019 года такой необходимости нету, как вы написали, что у вас аналогичный мотор, только не совпадает номер. Вам не могут отказать в регистрации. Так как

Постановление Правительства РФ от 21.12.2019 N 1764 "О государственной регистрации транспортных средств в регистрационных подразделениях Государственной инспекции безопасности дорожного движения Министерства внутренних дел Российской Федерации" (вместе с "Правилами государственной регистрации транспортных средств в регистрационных подразделениях Государственной инспекции безопасности дорожного движения Министерства внутренних дел Российской Федерации")

В случае если замена двигателя не связана с внесением изменений в конструкцию транспортного средства, внесение сведений в государственный реестр транспортных средств о его номере осуществляется регистрационным подразделением при производстве регистрационных действий на основании результатов осмотра.

и поменять номер старого двигателя на новый. Требуйте должностное лицо, инспектора, который отказал вам в регистрации написать письменный мотивированный отказ. С этим обращайтесь в суд. Я думаю, что у вас получится доказать свою правоту, налицо вам попался безграмотный инспектор.